אבי נאור נולד בחיפה בשנת 1948 וגדל בקרית טבעון. הוא נשוי לאתי, אם ילדם אייל. ילדיו מנישואים קודמים הם מירב, גיא ורן, שנהרג בתאונת דרכים בשנת 1995, כאשר היה כמעט בן 20.

אבי שירת בצבא ומחזיק בתואר BSC במדעי המחשב מהטכניון. בשנת 1976 הצטרף אבי נאור  לקבוצת אורק וב- 1982 הוא היה חבר בצוות מייסדי אמדוקס, חברת היי-טק הנסחרת בבורסה.

ב- 1995, אבי נאור מונה לנשיא ומנכ"ל אמדוקס. בשנת 1998 הוא הוביל את החברה למסחר וכתוצאה מכך עמד בראש רכישות משמעותיות. ב- 2002 השנה בה עזה אבי נאור את אמדוקס על מנת להקדיש את עצמו לפעילות התנדבותית, מכירותיה של אמדוקס הגיעו ל- 1.6 מיליארד דולר והחברה העסיקה 10,000 עובדים ברחבי העולם.

אבי נאור מעורב בפעילות התנדבותית בשני תחומים עיקריים:

* כיושב ראש עמותת "אור ירוק" לנהיגה בטוחה בישראל, הוא מעורב מאור במאבק נגד תאונות הדרכים ועומד בראש פרוייקטים בהיקף לאומי.

* קרן אורן הוקמה על ידי אבי ואתי נאור בשנת 2002, למטרת קידום ילדים ונוער במצוקה. כחלק ממשימה זו, קרן אורן תומכת במספר פרוייקטים, מרכזים וכפרי נוער בסיכון.

אבי נאור הוא חבר חבר הנאמנים מיוני 2004.